志·卷八
作者：張廷玉等
◎歷二
▲大統曆法一上(法原)
造歷者各有本原，史宜備錄，使後世有以考。如《太初》之起數鐘律，《大衍》之造端蓍策，皆詳本志。《授時曆》以測算術為宗，惟求合天，不牽合律呂、卦爻。然其法所以立，數之所從出，以及晷影、星度，皆有全書。郭守敬、齊履謙傳中，有書名可考。《元史》漫無採摭，僅存李謙之《議祿》、《歷經》之初稿。其後改三應率及立成之數，與夫割圓弧矢之法，平立定三差之原，盡削不載。使作者精意湮沒，識者憾焉。今據《大統因通軌》及《歷草》諸書，稍為編次，首法原，次立成，次推步。而法原之目七：曰句股測望，曰弧矢割圓，曰黃赤道內外度，曰白道交周，曰日月五星平立定三差，曰里差刻漏。
▲句股測望
北京立四丈表，冬至日午正，測得景辰七丈九尺八寸五分。隨以簡儀測到太陽南至地平二十六度四十六分半，為半弧背。求得矢度，五度九十一分半。置周天半徑，截矢餘五十四度九十六分為股，乃本地支戴日下之度。以弦股別句術，求得句二十六度一下七分六十六秒，為日出地半弧弦。
北京立四丈表，夏至日午正，測得景長一丈一尺七寸一分。隨以簡儀測到太陽南至地平七十四度二十六分半，為半弧背。求得矢度，四十三度七十四分少。置周天半徑，截矢餘一十七度一十三分二十五秒為句，乃本地去戴日下之度。以句弦別股術，求得股五十八度四十五分半，為日出地半弧弦。
以二至日度相併，得一百度七十三分，折半得五十度三十六分半，為北京赤道出地度。以赤道出地度轉減周天四之一，餘四十度九十四分九十三秒七十五微，為北京北極出地度。
▲弧矢割圓
周天經一百二十一度七十五分少。(少不用。)半徑六十零度八十七分半。(又為黃赤道大弦。)二至黃赤道內外半弧背二十四度。(所測就整。)二至黃赤道弧矢四度八十四分十二秒。黃赤道大句二十三度八十分七十秒。黃赤道大股五十六度零二分六十八秒。(半徑內減去矢度之數。)
割圓求矢術 置半弧度自之，為半弧背幕，周天逕自之，為上廉。上廉乘半弧背幕，為正實。上廉乘徑，為益從方。半弧背倍之，乘徑，為下廉。以初商乘上廉，得數以減益從方，余為從方。置初商自之以下廉，余以初商乘之，為從廉。從方、從廉相併，為下法。下法乘初商，以減正實，實不足減，改初商。實有不盡，次第商除之。倍初商數，與次商相併以乘上廉，得數以減益從方，余為從方。並初商次商而自之，又以初商自之，並二數以減下廉，余以初商倍數並次商乘之，為從廉。從方、從廉相併，為下法。下法乘次商，以減余實，而定次商。有不盡者，如法商之，皆以商得數為矢度之數。(黃赤道同用。)
如以半弧背一度求矢。術曰：置半弧背一度自之，得一度，為半弧幕。置周天徑一百二十一度太自之，得一萬四千八百二十三度零六分二十五秒，為上廉。上廉乘半弧背幕，得一萬四千八百二十三度零六分二五，為正實。上廉又乘徑，得一百八十零萬四千七百零七度八十五分九十三秒七五，為益從方。半弧背一度倍之，得二度，以乘徑得二百四十三度五十分，為下廉。初商八十秒。置初商八十秒乘上廉一萬四千八百二十三度零六二五，得一百一十八度五八四五，以減益從方一百八十零萬四千七百零七度八五九三七五，餘一百八十零萬四千五百八十九度二七四八七五，為從方。又置初商八十秒自之，得六十四微，以減下廉餘二百四十三度四九九三六。仍以八十秒乘之，得一度九四七九九九四八八，為從廉。以從廉、從方並之，共得一百八十零萬四千五百九十一度二二二八七四四八八，為下法。下法乘初商，得一萬四千四百三十六度七十二分九七八二九九五九零四，以減正實，余實三百八十六度三十三分二七一七零零四零九六。次商二秒。置初商八十秒倍之，得一分六十秒。加次商二委六十二秒，乘上廉一萬四千八百二十三度零六二五，得二百四十零度一三三六一二五，以減益從方，餘一百八十零萬四千四百六十七二五七六二五，為從方。又置初次商八十二秒自之，得六十七微。加初商八十秒自之之數，得一秒三十一微，以減下廉，餘二百四十三度四九九八六九。以前所得一分六十二秒乘之，得三度九十四分四六九七八七七八，為從廉。以從廉、從方並，得一百八十零萬四千四百七十一度六十七分零四六零三七八，為下法。下法乘次商，得三百六十零度八九四三三四零九二零七五五六，以減余實，仍餘二十五度四三八三八二九一二零二零四四。(不足一秒葉不用，下同。)
凡求得矢度八十二秒，余度各如上法，求到矢度，以為黃赤相求及其內外度之根。(數詳後。)
▲黃赤道差
求黃赤道各度下赤道積度術。 置周天半徑內減去黃道矢度，余為黃赤道小弦。置黃赤道小弦，以黃赤道大股乘之(大股見割圓)為實。黃赤道大弦(半徑)為法。實如法而一，為黃赤道小股。直黃道矢自乘為實，以周天全徑為法，實如法而一，為黃道半背弦差。以差去減黃赤道積度，(即黃道半弧背。)余為黃道半弧弦。置黃赤道半弧弦自之為股幕，黃赤道小股自之為句幕，二幕並之，以開平方法除之，為赤道小弦。置黃赤道半弧弦，以周天半徑(亦為赤道大弦)乘之為實，以赤道小弦為法而一，為赤道半弧弦。置黃赤道小股，(亦為赤道橫小句)以赤道大弦(即半徑)乘之為實，以赤道小弦為法而一，為赤道橫大句，以減半徑，余為赤道磺弧矢。橫弧矢自之為實，以全徑為法而一，為赤道半背弦差。以差加赤道半弧，為赤道積度。
如黃道半弧背一度，求赤道積度。術曰：“置半徑六十零度八十七分五十秒，(即黃赤道大弦。)內減黃道矢八十二秒餘六十零度八六六八，為黃赤道小弦。置黃赤道小弦，以黃赤道大股五十六度零二六八乘之，得三千四百一十零度一七二零三零二四為實，以黃赤道大弦六十零度八七五為法，實如法而一，得五十六度零一分九十二秒，為黃赤道小股。(又為赤道小句。)置矢度八十二秒自之，得六十七微，以全徑一百二十一度七五為法，除之得五十五纖，為黃道平半背弦差。置黃道半弧弦一度，內減黃道半背弦差，余為半弧弦，因因差在微以下不減，即用一度為半弧弦。置黃道半弧弦一度自之，得一度為股幕。黃赤道小股五十六度零一矣二自之，得三千一百三十八度一五零七六八六四為句幕。二幕並得三千一百三十九度一五零七六八六四為弦實，平方開之，得五十六度零二八一，為赤道小弦。置黃道半弧弦一度，以半徑(即赤道大弦)乘之，得六十零度八七五為實，以赤道小股五十六度零二八一為法除之，得一度零八分六十五秒，為赤道半弧弦。置黃赤道小股五十六度零一九二，(又為赤道小句。)以赤道大弦(半徑)六十零度八七五乘之，得三千四百一十零度一六八八為實，以赤道小弦為法除之，得六十零度八十六分五十三秒，為赤道橫大句。置半徑六十零度八十七分五十秒，內減赤道大句六十零度八十六分五十三秒，餘九十七秒，為赤道橫弧矢。置赤道橫弧矢九十七秒自之，得九十四微零九，以全徑為法除之，得七十纖，為赤道背弦差。置赤道半弧弦一度零八分六十五秒，加赤道背弦差，為赤道積度，今差在微已下不加，即用半弧弦為積度。
凡求得赤道積度一度零八分六十五秒。余度各如上法，求到各黃道度下赤道積，兩數相減，即得黃赤道差，乃至後之率。其分後，以赤道度求黃道，反此求之，其數並同。
▲黃赤道相求弧矢諸率立成上
(表格略)
▲黃赤道相求弧矢諸率立成下
(表格略)
按郭敬創法五端，內一曰黃道差，此其根率也。舊法以一百一度相減乘。《授時》立術，以句股、弧矢、方圓、斜直所容，求其數差，合於渾象之理，視古為密。顧《至元歷經》所載略，又誤以黃道矢度為積差，黃道矢差為率，今正之。
▲割圓弧矢圖
凡渾圓中剖，則成平圓。任割平圓之一分，成弧矢形，皆有弧背，有弧弦，有矢。剖弧矢形而半之，則有半弧背，有半弧弦，有矢。因弦矢句股形，以半弧弦為句，矢減半徑之餘為股，半徑為弦。句股內成小句股，則有小句、小股、小弦、而大小可互求，平側可互用，渾圓之理，斯為密近。
平者為赤道，斜者為黃道。因二至黃道赤之距，生大句股。因各度黃赤之距，生小句股。
外大圓為赤道。從北極平視，則黃道在赤道內，有赤道各度，即各有其半弧弦，以生大名股。又各有其相當之黃道半弧弦，以生小句股。此二者皆可互求。
按舊史無圖，然表亦圖之屬也。今句股割弧矢之法，實為歷家測算之本。非圖不明，因存其要者數端。
▲黃赤道內外度
推黃道各度，距赤道內外及去極遠近術。置半徑內減去赤道小弦，余為赤道二弦差。(又為黃赤道小弧矢，又為內外矢，又為股弦差。)置半徑內外減去黃道矢度，余為黃赤道小弦，以二至黃赤道內外半弧弦乘之為實，以黃赤道大弦為法，(即半徑。)除之為黃赤道小弧弦。(即黃赤道內外半弧弦，又為黃赤道小句。)置黃赤道小弧矢自之，(即赤道二弦差。)以全徑除之，為半背弦差。以差加黃赤道小弧弦為黃赤道小弧半背，即黃赤道內外度。置黃赤道內外度，視在盈初縮末限以加，在縮初盈天限以減，皆加減象限度，即各得太陽去北極度分。
如冬至後四十四度，求太陽去赤道內外及去極度。術曰：“置半徑六十零度八十七分半，內減黃道四十四度下赤道小弦五十八度三十五分六十九秒，餘二度五十一分八十一秒，為黃赤道小弧矢。(即內外矢。)置半徑六十零度八七五，內減黃道四十四度，矢一十六度五十六分八十二秒，餘四十四三十零分六十八秒，為黃赤道小弦。置黃赤道小弦，以二至黃赤道內外半弧弦二十三度七十一分乘之，得一千零五十零度五十一分四二三八為實，以黃赤道大弦六十零度八七五為法除之，得一十七度二十五分十九秒為黃赤道小弧弦。(即內外半弧弦。)置黃赤道小弧矢二度五十一分八十一秒自之為實，以全徑地百二十一度七十五分除之，得五分二十一秒為背弦差，以差加黃赤道小弧弦一十七度二十五分六十九秒，得一十七度三十零分八十九秒，為二至前後四十四度，太陽去赤道內外度。置象限九十一度三十一分四十三秒七五，以內外度一十七度三零八九加之，得一百零八度六十二分三十二秒七五，為冬至後四十四度太陽去北極度。
▲黃道每度去赤道內外及去北極立成
(表格略)
▲白道交周
推白赤道正交，距黃赤道正交北極數。術曰：“置實測白道出入黃道內外六度為半徑弧弦，又為大圖弧矢，又為股弦差。置半徑六十零度七五自之，得三千七百零五度七六五六二五，以矢六度而一，得六百一十七度六十三分為股弦和，加矢六度，共六百二十三度六十三分為大圓徑。依法求得容闊五度七十分，又為小句。又以二至出入半弧弦二十三度七十一分為大句。以大句為法，除大股五十六度零六分五十秒，得二度三十七分(就整)為度差。以度差乘小句，得小股一十三度四十七分八十二秒，為容半長。置半徑六十零度八七五為大弦，以乘小句五度七十分為實，以大句二十三度七十一分為法除之，得一十四度六十三分為小弦，又為白赤道正交，距黃赤道正交半弧弦。 依法求行半弧背一十四度六十六分，為白赤道正交距黃赤道正交極婁數。
譯文
制定曆法的人各有自己的淵源，史書應該詳盡採錄，使後世有參考的依據。
如《太初曆》起源於音律，《大衍曆》發端於蓍卜，都詳細見於本歷志。
《授時曆》以測量檢駿推算焉宗旨，祇求與天相合，不牽強附會音律、卦爻。
然而它立法的依據．數據的出處，以及日晷影長、行星度數，都有完整的書籍。
郭守堃、查履謙的傳中，有書名可考。
《元史》全沒有採錄，現僅存奎盞的《議錄》、《歷經》的初稿。
後來改變三應率及數據表的數據，和割圓弧矢的方法、平立定三差的來源，都刪去沒有記載。
使作者的精闢見解湮汝無聞，有見識的人都為此感到道憾。
現在根據《大統歷通軌》及《歷草》等書，稍加編排，首先是曆法原理，其次是數據表，再其次是推算。
而曆法原理的細目有七項，是勾股測望，弧矢割圓，黃赤道差，黃赤道內外度，白道交周，日月五星平立定三差，里差刻漏。
在北京立四丈高的標尺，冬至日正午，測得影長七丈九尺八寸五分。
隨即用簡儀測得太陽南至地平二十六度四十六分半，焉半弧背。
求得矢度為五度九十一分半。
將周天半徑，減去矢度，剩餘五十四度九十六分為股，就是本地離頭頂上太陽的度數。
用以弦股求勾的方法，求得勾為二十六度十七分六十六秒，就是太陽出地的半弧弦。
在北京立四丈高的標尺，夏至日正午，測得影長一丈一尺七寸一分。
隨即用簡儀測到太陽南至地平七十四度二十六分半，為半弧背。
求得矢度為四十三度七十四分又四分之一。
將周天半徑，減去矢度，剩下十七度十三分二十五秒焉勾，就是本地離頭頂上太陽的度數。
用以勾弦求股的方法，求得股為五十八度四十五分半，就是太陽出地的半弧弦。
將冬至夏至太陽南至地平的度數相加，得一百度七十三分，折半得五十度三十六分半，為北京的赤道出地度數。
以赤道出地度轉減周天的四分之一，餘四十度九十四分九十三秒七十五微，就是北京的緯度。
周天圓的直徑為一百二十一度七十五分又四分之一。
四分之一不用。
半徑為六十度八十七分半。
又是黃道赤道的大弦。
冬至夏至黃道赤道內外半弧背為二十四度。
所測敷取整數。
冬至夏至黃道赤道弧矢為四度八十四分八十二秒。
黃道赤道大勾為二十三度八十分七十秒。
黃道床道大股為五十六度零二分六十八秒。
半徑內減去矢度。
割圓求矢的方法。
將半弧背的度數自乘，就是半弧背的冪。
將周天圓的直逕自乘，就是上廉。
上廉乘半弧背的冪，就是正實。
上廉乘以天圓直徑，就是益從方。
半弧背乘以二，乘以天圓直徑，就是下廉。
用初商乘上廉，再用益從方減去這個得數，餘數就是從方。
將初商自乘並用下廉減自乘的得數，餘數乘以初商，就是從廉。
從方和從廉相加，就是下法。
下法乘以初商，再用正寅減去此數，如正賞不夠減，就改用初商。
正實還有餘數，依次用商除下去。
將初商乘以二，與次商相加並乘以上廉，再用益從方減去乘積，餘數為從方。
將初商和次商相加並自乘，又將初商自乘，然後兩數相加，再用下廉城此數，餘數用初商的二倍加次商輿之相乘，就是從廉。
從方和從廉相加，就是下法。
下法乘以次商，再用余實鹼此數，從而確定次商。
如還有餘數，用同樣的方法計算，商的得敷就是矢的度數。
黃道赤道同用這一度數。
例如以半弧背一度來求矢的度數。
方法是：將半弧背一度自乘，得敷為一度，是半弧背的冪。
將天圓直徑一百二十一度又四分之三自乘，得一萬四千八百二十三度零六分二十五秒，就是上廉。
上廉乘以半弧背的冪，得一萬四千八百二十三度零六分二十五秒，就是正實。
上廉又乘天圓直徑，得一百八十萬四千七百零七度八十五分九十三秒七五，就是益從方。
半弧背一度加倍，得二度，乘以天圓直徑得二百四十三度五十分，就是下廉。
初商八十秒。
將初商八十秒乘以上廉一萬四千八百二十三度零六二五，得一百一十八度五八四五，再用益從方一百八十萬四千七百零七度八五九三七五減此數，餘一百八+葛四千五百八十九度二七四八七五，就是從方。
又將初商八十秒自乘，得六十四微，再用下廉減此敷，餘二百四十三度四九九九三六。
仍然用八十秒乘此餘數，得一度九四七九九九四八八，就是從廉。
將從廉和從方相加，共得一百八十萬四千五百九十一度二二二八七四四八八，就是下法。
下法乘以初商，得一萬四千四百三十六度七十二分九七八二九九五九零四，再用正實藏去此數，得余實三百八十六度三十三分二七一七零零四零九六。
次商二秒。
將初商八十秒加倍，得一分六十秒。
加次商二秒，得一分六十二秒，乘以上廉一萬四千八百二十三度零六二五，得二百四十度一三三六一二五，再用益從方減此數，餘一百八十萬四千四百六十七度七二五七六二五，就是從方。
又將初商和次商八十二秒自乘，得六十七微。
加上初商八十秒自乘之數，得一秒三十一微，用下廉減此敷，餘二百四十三度四九九八六九。
乘以前面所得到的一分六十二秒，得三度九十四分四六九七八七七八，就是從廉。
將從廉和從方相加，得一百八十萬四千四百七十一度六十七分零四六零三七七八，就是下法。
將下法乘以次商，得三百六十度八九四三三四零九二零七五五六，用余實減此敷，還餘二十五度四三八三八二九一二零二零四四。
不足一秒捨棄不用，以下同。
求得矢的度數共八十二秒，剩餘部分繼續用上列方法計算。
求得矢的度數，作為黃道赤道相求及求二者內外度的根。
數據詳見後文。
求黃道各度之下赤道度數的方法。
將天圓的半徑減去黃道矢的度數，餘數焉黃道赤道的小弦。
將黃道赤道的小弦，乘以黃道赤道的大股大股見弧矢割圓作為被除數。
黃道赤道的大弦天圓半徑作為除數。
兩數相除，就是黃道赤道的小股。
將黃道的矢自乘作為被除數，以天圓的直徑作為除數，兩數相除，就是黃道半背弦差。
用黃道積度即黃道半弧背減這個差，餘數就是黃道半弧弦。
將黃道半弧弦自乘作為股的冪，黃道赤道小股自乘作為勾的冪，兩個冪相加，開平方，就是赤道小弦。
將黃道的半弧弦，乘以天圓的半徑也是赤道大弦作為被除數，以赤遒小弦作為除數與之相除，就是赤道的半弧弦。
將黃道赤道的小股，也是赤道的橫小勾。
用赤道大弦即半徑相乘作為被除數，以赤道小弦作為除數與之相除，就是赤道橫大勾，再用半徑減赤道橫大勾，餘數就是赤道橫弧矢。
將橫弧矢自乘作為被除數，以直徑作為除數與之相除，就是赤道的半背弦差。
以半背弦差加赤道半弧弦，就是赤道的度數。
如黃道半弧背為一度，求赤道的度數。
方法是：將半徑六十度八十七分五十秒，即黃道赤道大弦。
黃道的矢八十二秒，餘六十度八六六八，就是黃道赤道小弦。
將黃道赤道小弦，乘以黃道赤道大股五十六度零二六八，得三千四百一十度一七二零三零二四作為被除數，以黃道赤道大弦六十度八七五作為除數，兩敷相除，得五十六度零一分九十二秒，就是黃道赤道的小股。
又是赤道小勾。
將矢的度數八十二秒自乘，得六十七微，以天圓直徑一百二十一度七五作為除數，輿之相除得五十五纖，就是黃道半背弦差。
將黃道半弧背一度，減黃道半背弦差，餘數就是半弧弦。
因半背弦差在一微以下，所以不減，就用一度作為半弧弦。
將黃道半弧弦一度自乘，得一度作為股的冪。
黃道赤道小股五十六度零一九二自乘，得三千一百三十八度一五零七六八六四作為勾的冪。
兩個冪相加得三千一百三十九度一五零七六八六四焉弦實，開平方，得五十六度零二八一，就是赤道小弦。
將赤道半弧弦一度，乘以天圓半徑，即赤道大弦。
得六十度八七五作為被除數，以赤道小弦五十六度零二八一作為除敷相除，得一度零八分六十五秒，就是赤道的半弧弦。
將黃道赤道的小股五十六度零一九二，又是赤道小勾。
乘以赤道大弦天圓半徑六十度八七五，得三千四百一十度一六八八作為被除數，以赤道小弦作為除數相除，得六十度八十六分五十三秒，就是赤道橫大勾。
將天圓半徑六十度八十七分五十秒，減赤道大勾六十度八十六分五十三秒，餘九十七秒，就是赤道橫弧矢。
將赤道橫弧矢九十七秒自乘，得九十四微零九，再以天圓直徑作除數輿之相除，得七十七纖，就是赤道背弦差。
將赤道半弧弦一度零八分六十五秒，加赤道背弦差，就是赤道的度數。
現在赤道背弦差在一微以下，捨棄不加，就用半弧弦作為度數。
共求得赤道度數為一度零八分六十五秒。
其餘度數各自用上面的方法，求到各黃道度數下的赤道度數，兩敷相減，就得到黃道赤道差，這是冬至夏至後的比率。
春分秋分以後，以赤道度數求黃道，反過來相求，數據都相同。
按郭守敬創立的新方法有五條，其中一條是黃道赤道差，這就是它的數據。
舊方法用一百零一度相減相乘。
《授時曆》創立新方法，用勾股、弧矢、方圓、斜直所包含的內容，推求黃道赤道的差敷，合乎天象的原理，比古代更嚴密。
只是《至元歷經》的記載很筒略，又誤以黃道矢度為積差，黃道矢差為差率，現在予以糾正。
凡是圓周從中間剖開，就成了半圓。
任意切分半圓的一部分，就成了弧矢形，都有弧背，有弧弦，有矢。
切分出弧矢形的一半，就有半弧背，有半弧弦，有矢。
因為弦和矢就生出勾股形，以半弧弦焉勾，半徑減矢的餘數為股，半徑為弦。
勾股內又形成小勾股，就有小勾、小股、小弦，而大小可以互相推求，平側可以互相利用，圓周的道理，這就很切近了。
平線是赤道，斜線是黃道。
因為冬至夏至黃道赤道的距離，生出大勾股。
因為各度黃道赤道的距離，生出小勾股。
外面的大圓是赤道。
從北極俯視，黃道在赤道之內，有赤道的各度，就有各度的半弧弦，以此生出大勾股。
又各有輿它們相應的黃道半弧弦，以此生出小勾股。
這二者可以互相推求。
按舊史書沒有圖，然而表也是和圓同類的。
現在勾股割圓弧矢的方法，實在是歷算家測算的根本。
沒有圖不能說明問題，因而保留其重要的幾幅。
推算黃道各度距離赤道的內外度數及距離北極遠近的方法。
將天圓半徑減去赤道小弦，余敷就是赤道兩個弦的差。
又是黃道赤道小弧的矢，又是內外矢，又是股弦差。
將半徑減去黃道矢的度數，餘數就是黃道赤道的小弦。
將冬至夏至黃道赤道內外半弧弦輿黃道赤道小弦相乘作為被除數，以黃道赤道大弦作為除數，即半徑。
輿之相除就是黃道赤道小弧弦。
就是黃道赤道內外半弧弦，又是黃道赤道小勾。
將黃道赤道小弧矢自乘，即赤道兩弦的差。
除以直徑，就是半背弦差。
用這個差加黃道赤道小弧弦就是黃道赤道小弧半背，也就是黃道在赤道內外的度數。
根據黃道在赤道內外的度數，如果在盈初縮末象限表內就加，在縮初盈末象限表內就減，都加減象限表內的度數，就得到太陽距離北極的度數。
如冬至後黃道四十四度，求太陽距離赤道內外的度數及距離北極的度數。
方法是：將天圓半徑六十度八十七分半，減黃道四十四度時赤道小弦五十八度三十五分六十九秒，餘二度五十一分八十一秒，就是黃道赤道小弧矢。
即內外矢。
將半徑六十度八七分半，減黃道四十四度時的矢一十六度五十六分八十二秒，餘四十四度三十分六十八秒，就是黃道赤道小弦。
將黃道赤道小弦，用冬至夏至時黃道赤道內外半弧弦二十三度七十一分輿之相乘，得一千零五十度五十一分四二三八作為被除數，以黃道赤道大弦六十度八七五作為除數輿之相除，得十七度二十五分六十九秒，即黃道赤道小弧弦。
即內外半弧弦。
將黃道赤道小弧矢二度五十一分八十一秒自乘作為被除數，用直徑一百二十一度七十五分與之相除，得五分二十一秒就是背弦差。
用背弦差加黃道赤道小弧弦十七度二十五分六十九秒，得十七度三十分八十九秒，就是冬至夏至前後黃道四十四度時，太陽距離赤道的內外度。
將象限九十一度三十一分四十三秒七五，加內外度十七度三零八九，得一百零八度六十二分三十二秒七五，就是冬至後黃道四十四度時太陽距離北極的度數。
推算白道和赤道的降交點距離黃道赤道降交點的最大數值。
方法是：將寅測到的白道出入黃道內外的六度作為半弧弦，又是大圓的弦矢，又是股和弦的差。
將半徑六十度八七五自乘，得三乾七百零五度七六五六二五，用矢六度與之相除，得六百一十七度六十三分為股弦的和，再加矢六度，共六百二十三度六十三分，就是大圓直徑。
按法則求得容闊五度七十分，又是小勾。
又以冬至夏至時出入半弧弦二十三度七十一分作為大勾。
以大勾作除數，除大股五十六度零六分五十秒，得二度三十七分就整敷而言為度差。
以度差乘小勾，得小股十三度四十七分八十二秒，就是容半長。
以半徑六十度八七五焉大弦，乘以小勾五度七十分作為被除數，以大勾二十三度七十一分焉除數輿之相除，得十四度六十三分就是小弦；又是白道赤道降交點距離黃道赤道降交點的半弧弦。
按法則求得半弧背十四度六十六貧，就是白道赤道降交點距離黃道赤道降交點的最大敷值。