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卷四

作者:張蒼、耿壽昌、劉徽

○少廣(以御積冪方圓) 少廣 〔淳風等按:一畝之田,廣一步,長二百四十步。今欲截取其從少,以益其 廣,故曰少廣。〕 術曰:置全步及分母子,以最下分母遍乘諸分子及全步, 〔淳風等按:以分母乘全步者,通其分也;以母乘子者,齊其子也。〕 各以其母除其子,置之於左,命通分者,又以分母遍乘諸分子及已通者,皆 通而同之。並之為法。

〔淳風等按:諸子悉通,故可並之為法。亦宜用合分術,列數尤多,若用乘 則算數至繁,故別制此術,從省約。〕 置所求步數,以全步積分乘之為實。

〔此以田廣為法,以畝積步為實。法有分者,當同其母,齊其子,以同乘法 實,而並齊於法。今以分母乘全步及子,子如母而一,並以並全法,則法實俱長, 意亦等也。故如法而一,得從步數。〕 實如法而一,得從步。

今有田廣一步半。求田一畝,問從幾何?答曰:一百六十步。

術曰:下有半,是二分之一。以一為二,半為一,並之,得三,為法。置田 二百四十步,亦以一為二乘之,為實。實如法得從步。

今有田廣一步半、三分步之一。求田一畝,問從幾何?答曰:一百三十步一 十一分步之一十。

術曰:下有三分,以一為六,半為三,三分之一為二,並之,得一十一,為 法。置田二百四十步,亦以一為六乘之,為實。實如法得從步。

今有田廣一步半、三分步之一、四分步之一。求田一畝,問從幾何?答曰: 一百一十五步五分步之一。

術曰:下有四分,以一為一十二,半為六,三分之一為四,四分之一為三, 並之,得二十五,以為法。置田二百四十步,亦以一為一十二乘之,為實。實如 法而一,得從步。

今有田廣一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一。求田一畝,問從 幾何?答曰:一百五步一百三十七分步之一十五。

術曰:下有五分,以一為六十,半為三十,三分之一為二十,四分之一為一 十五,五分之一為一十二,並之,得一百三十七,以為法。置田二百四十步,亦 以一為六十乘之,為實。實如法得從步。

今有田廣一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一。求 田一畝,問從幾何?答曰:九十七步四十九分步之四十七。

術曰:下有六分,以一為一百二十,半為六十,三分之一為四十,四分之一 為三十,五分之一為二十四,六分之一為二十,並之,得二百九十四,以為法。

置田二百四十步,亦以一為一百二十乘之,為實。實如法得從步。

今有田廣一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七 分步之一。求田一畝,問從幾何?答曰:九十二步一百二十一分步之六十八。

術曰:下有七分,以一為四百二十,半為二百一十,三分之一為一百四十, 四分之一為一百五,五分之一為八十四,六分之一為七十,七分之一為六十,並 之,得一千八十九,以為法。置田二百四十步,亦以一為四百二十乘之,為實。

實如法得從步。

今有田廣一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七 分步之一、八分步之一。求田一畝,問從幾何?答曰:八十八步七百六十一分步 之二百三十二。

術曰:下有八分,以一為八百四十,半為四百二十,三分之一為二百八十, 四分之一為二百一十,五分之一為一百六十八,六分之一為一百四十,七分之一 為一百二十,八分之一為一百五,並之,得二千二百八十三,以為法。置田二百 四十步,亦以一為八百四十乘之,為實。實如法得從步。

今有田廣一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七 分步之一、八分步之一、九分步之一。求田一畝,問從幾何?答曰:八十四步七 千一百二十九分步之五千九百六十四。

術曰:下有九分,以一為二千五百二十,半為一千二百六十,三分之一為八 百四十,四分之一為六百三十,五分之一為五百四,六分之一為四百二十,七分 之一為三百六十,八分之一為三百一十五,九分之一為二百八十,並之,得七千 一百二十九,以為法。置田二百四十步,亦以一為二千五百二十乘之,為實。實 如法得從步。

今有田廣一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七 分步之一、八分步之一、九分步之一、十分步之一。求田一畝、問從幾何?答曰: 八十一步七千三百八十一分步之六千九百三十九。

術曰:下有一十分,以一為二千五百二十,半為一千二百六十,三分之一為 八百四十,四分之一為六百三十,五分之一為五百四,六分之一為四百二十,七 分之一為三百六十,八分之一為三百一十五,九分之一為二百八十,十分之一為 二百五十二,並之,得七千三百八十一,以為法。置田二百四十步,亦以一為二 千五百二十乘之,為實。實如法得從步。

今有田廣一步半、三分步之一、四分之步一、五分步之一、六分步之一、七 分步之一、八分步之一、九分步之一、十分步之一、十一分步之一。求田一畝, 問從幾何?答曰:七十九步八萬三千七百一十一分步之三萬九千六百三十一。

術曰:下有一十一分,以一為二萬七千七百二十,半為一萬三千八百六十, 三分之一為九千二百四十,四分之一為六千九百三十,五分之一為五千五百四十 四,六分之一為四千六百二十,七分之一為三千九百六十,八分之一為三千四百 六十五,九分之一為三千八十,一十分之一為二千七百七十二,一十一分之一為 二千五百二十,並之,得八萬三千七百一十一,以為法。置田二百四十步,亦以 一為二萬七千七百二十乘之,為實。實如法得從步。

今有田廣一步半、三分步之一、四分步之一,五分步之一、六分步之一、七 分步之一、八分步之一、九分步之一、十分步之一、十一分步之一、十二分步之 一。求田一畝,問從幾何?答曰:七十七步八萬六千二十一分步之二萬九千一百 八十三。

術曰:下有一十二分,以一為八萬三千一百六十,半為四萬一千五百八十, 三分之一為二萬七千七百二十,四分之一為二萬七百九十,五分之一為一萬六千 六百三十二,六分之一為一萬三千八百六十,七分之一為一萬一千八百八十,八 分之一為一萬三百九十五,九分之一為九千二百四十,一十分之一為八千三百一 十六,十一分之一為七千五百六十,十二分之一為六千九百三十,並之,得二十 五萬八千六十三,以為法。置田二百四十步,亦以一為八萬三千一百六十乘之, 為實。實如法得從步。

〔淳風等按:凡為術之意,約省為善。宜云“下有一十二分,以一為二萬七 千七百二十,半為一萬三千八百六十,三分之一為九千二百四十,四分之一為六 千九百三十,五分之一為五千五百四十四,六分之一為四千六百二十,七分之一 為三千九百六十,八分之一為三千四百六十五,九分之一為三千八十,十分之一 為二千七百七十二,十一分之一為二千五百二十,十二分之一為二千三百一十, 並之,得八萬六千二十一,以為法。置田二百四十步,亦以一為二萬七千七百二 十乘之,以為實。實如法得從步。”其術亦得知,不繁也。〕 今有積五萬五千二百二十五步,問為方幾何?答曰:二百三十五步。

又有積二萬五千二百八十一步,問為方幾何?答曰:一百五十九步。

又有積七萬一千八百二十四步,問為方幾何?答曰:二百六十八步。

又有積五十六萬四千七百五十二步四分步之一,問為方幾何?答曰:七百五 十一步半。

又有積三十九億七千二百一十五萬六百二十五步,問為方幾何?答曰:六萬 三千二十五步。

○開方 〔求方冪之一面也。〕 術曰:置積為實。借一算,步之,超一等。

〔言百之面十也。言萬之面百也。〕 議所得,以一乘所借一算為法,而以除。

〔先得黃甲之面,上下相命,是自乘而除也。〕 除已,倍法為定法。

〔倍之者,豫張兩面朱冪定袤,以待覆除,故曰定法。〕 其復除,折法而下。

〔欲除朱冪者,本當副置所得成方,倍之為定法,以折、議、乘,而以除。

如是當復步之而止,乃得相命。故使就上折下。〕 復置借算,步之如初。以複議一乘之, 〔欲除朱冪之角黃乙之冪,其意如初之所得也。〕 所得副以加定法,以除。以所得副從定法。

〔再以黃乙之面加定法者,是則張兩青冪之袤。〕 復除,折下如前。若開之不盡者,為不可開,當以面命之。

〔術或有以借算加定法而命分者,雖粗相近,不可用也。凡開積為方,方之 自乘當還復有積分。令不加借算而命分,則常微少;其加借算而命分,則又微多。

其數不可得而定。故惟以面命之,為不失耳。譬猶以三除十,以其餘為三分之一, 而復其數可以舉。不以面命之,加定法如前,求其微數。微數無名者以為分子, 其一退以十為母,其再退以百為母。退之彌下,其分彌細,則朱冪雖有所棄之數, 不足言之也。〕 若實有分者,通分內子為定實,乃開之。訖,開其母,報除。

〔淳風等按:分母可開者,並通之積先合二母。既開之後,一母尚存,故開 分母,求一母為法,以報除也。〕 若母不可開者,又以母乘定實,乃開之。訖,令如母而一。

〔淳風等按:分母不可開者,本一母也。又以母乘之,乃合二母。既開之後, 亦一母存焉,故令一母而一,得全面也。

又按:此術“開方”者,求方冪之面也。借一算者,假借一算,空有列位之 名,而無除積之實。方隅得面,是故借算列之於下。“步之超一等”者,方十自 乘,其積有百,方百自乘,其積有萬,故超位,至百而言十,至萬而言百。“議 所得,以一乘所借算為法,而以除”者,先得黃甲之面,以方為積者兩相乘,故 開方除之,還令兩面上下相命,是自乘而除之。“除已,倍法為定法”者,實積 未盡,當復更除,故豫張兩面朱冪袤,以待覆除,故曰定法。“其復除,折法而 下”者,欲除朱冪,本當副置所得成方,倍之為定法,以折、議、乘之,而以除, 如是,當復步之而止,乃得相命。故使就上折之而下。“復置借算,步之如初, 以複議一乘之,所得副以加定法,以定法除”者。欲除朱冪之角黃乙之冪。“以 所得副從定法”者,再以黃乙之面加定法,是則張兩青冪之袤,故如前開之,即 合所問。〕 今有積一千五百一十八步四分步之三。問為圓周幾何?答曰:一百三十五步。

〔於徽術,當周一百三十八步一十分步之一。

淳風等按:此依密率,為周一百三十八步五十分步之九。〕 又有積三百步,問為圓周幾何?答曰:六十步。

〔於徽術,當周六十一步五十分步之十九。

淳風等按:依密率,為周六十一步一百分步之四十一。〕 開圓術曰:置積步數,以十二乘之,以開方除之,即得周。

〔此術以周三徑一為率,與舊圓田術相返覆也。於徽術,以三百一十四乘積, 如二十五而一,所得,開方除之,即周也。開方除之,即徑。是為據見冪以求周, 猶失之於微少。其以二百乘積,一百五十七而一,開方除之,即徑,猶失之於微 多。

淳風等按:此注於徽術求周之法,其中不用“開方除之,即徑”六字,今 本有者,衍剩也。依密率,八十八乘之,七而一。按周三徑一之率,假令周六徑 二,半周半徑相乘得冪三,周六自乘得三十六。俱以等數除冪,得一周之數十二 也。其積:本周自乘,合以一乘之,十二而一,得積三也。術為一乘不長,故以 十二而一,得此積。今還原,置此積三,以十二乘之者,復其本周自乘之數。凡 物自乘,開方除之,復其本數,故開方除之,即周。〕 今有積一百八十六萬八百六十七尺, 〔此尺謂立方尺也。凡物有高、深而言積者,曰立方。〕 問為立方幾何?答曰:一百二十三尺。

又有積一千九百五十三尺八分尺之一,問為立方幾何?答曰:一十二尺半。

又有積六萬三千四百一尺五百一十二分尺之四百四十七,問為立方幾何?答 曰:三十九尺八分尺之七。

又有積一百九十三萬七千五百四十一尺二十七分尺之一十七,問為立方幾何? 答曰:一百二十四尺太半尺。

開立方 〔立方適等,求其一面也。〕 術曰:置積為實。借一算,步之,超二等。

〔言千之面十,言百萬之面百。〕 議所得,以再乘所借一算為法,而除之。

〔再乘者,亦求為方冪。以上議命而除之,則立方等也。〕 除已,三之為定法。

〔為當復除,故豫張三面,以定方冪為定法也。〕 復除,折而下。

〔復除者,三面方冪以皆自乘之數,須得折、議,定其厚薄爾。開平冪者, 方百之面十;開立冪者,方千之面十。據定法已有成方之冪,故復除當以千為百, 折下一等也。〕 以三乘所得數,置中行。

〔設三廉之定長。〕 復借一算,置下行。

〔欲以為隅方。立方等未有定數,且置一算定其位。〕 步之,中超一,下超二等。

〔上方法,長自乘而一折,中廉法,但有長,故降一等;下隅法,無面長, 故又降一等也。〕 復置議,以一乘中, 〔為三廉備冪也。〕 再乘下, 〔令隅自乘,為方冪也。〕 皆副以加定法。以定法除。

〔三面、三廉、一隅皆已有冪,以上議命之而除,去三冪之厚也。〕 除已,倍下,並中,從定法。

〔凡再以中、三以下,加定法者,三廉各當以兩面之冪連於兩方之面,一隅 連於三廉之端,以待覆除也。言不盡意,解此要當以棋,乃得明耳。〕 復除,折下如前。開之不盡者,亦為不可開。

〔術亦有以定法命分者,不如故冪開方,以微數為分也。〕 若積有分者,通分內子為定實。定實乃開之。訖,開其母以報除。

〔淳風等按:分母可開者,並通之積先合三母。既開之後一母尚存,故開分 母,求一母,為法,以報除也。〕 若母不可開者,又以母再乘定實,乃開之。訖,令如母而一。

〔淳風等按:分母不可開者,本一母也。又以母再乘之,令合三母。既開之 後,一母猶存,故令一母而一,得全面也。

按:“開立方”知,立方適等,求其一面之數。“借一算,步之,超二等” 者,但立方求積,方再自乘,就積開之,故超二等,言千之面十,言百萬之面百。

“議所得,以再乘所借算為法,而以除”知,求為方冪,以議命之而除,則立方 等也。“除已,三之為定法”,為積未盡,當復更除,故豫張三面已定方冪為定 法。“復除,折而下”知,三面方冪皆已有自乘之數,須得折、議定其厚薄。據 開平方,百之面十,其開立方,即千之面十。而定法已有成方之冪,故復除之者, 當以千為百,折下一等。“以三乘所得數,置中行”者,設三廉之定長。“復借 一算,置下行”者,欲以為隅方,立方等未有數,且置一算定其位也。“步之, 中超一,下超二”者,上方法長自乘而一折,中廉法但有長,故降一等,下隅法 無面長,故又降一等。“復置議,以一乘中”者,為三廉備冪。“再乘下”,當 令隅自乘為方冪。“皆副以加定法,以定法除者,三面、三廉、一隅皆已有冪, 以上議命之而除,去三冪之厚。“除已,倍下、並中,從定法”者,三廉各當以 兩面之冪連於兩方之面,一隅連於三廉之端,以待覆除。其開之不盡者,折下如 前,開方,即合所問。“有分者,通分內子開之。訖,開其母以報除”,“可開 者,並通之積,先合三母;既開之後,一母尚存,故開分母”者,“求一母為法, 以報除。”“若母不可開者,又以母再乘定實,乃開之。訖,令如母而一”,分 母不可開者,本一母,又以母再乘,令合三母,既開之後,亦一母尚存。故令如 母而一,得全面也。〕 今有積四千五百尺。

〔亦謂立方之尺也。〕 問為立圓徑幾何?答曰:二十尺。

〔依密率,立圓徑二十尺,計積四千一百九十尺二十一分尺之一十。〕 又有積一萬六千四百四十八億六千六百四十三萬七千五百尺。問為立圓徑幾 何?答曰:一萬四千三百尺。

〔依密率,為徑一萬四千六百四十三尺四分尺之三。〕 開立圓術曰:置積尺數,以十六乘之,九而一,所得,開立方除之,即立 圓徑。

〔立圓,即丸也。為術者,蓋依周三徑一之率。令圓冪居方冪四分之三,圓 囷居立方亦四分之三。更令圓囷為方率十二,為丸率九,丸居圓囷又四分之三也。

置四分自乘得十六,三分自乘得九,故丸居立方十六分之九也。故以十六乘積, 九而一,得立方之積。丸徑與立方等,故開立方而除,得徑也。然此意非也。何 以驗之?取立方棋八枚,皆令立方一寸,積之為立方二寸。規之為圓囷,徑二寸, 高二寸。又復橫因之,則其形有似牟合方蓋矣。八棋皆似陽馬,圓然也。按:合 蓋者,方率也,丸居其中,即圓率也。推此言之,謂夫圓囷為方率,豈不闕哉? 以周三徑一為圓率,則圓冪傷少;令圓囷為方率,則丸積傷多,互相通補,是以 九與十六之率偶與實相近,而丸猶傷多耳。觀立方之內,合蓋之外,雖衰殺有漸, 而多少不掩。判合總結,方圓相纏,濃纖詭互,不可等正。欲陋形措意,懼失正 理。敢不闕疑,以俟能言者。

黃金方寸,重十六兩;金丸徑寸,重九兩,率生於此,未曾驗也。《周官· 考工記》:“朅氏為量,改煎金錫則不耗,不耗然後權之,權之然後準之,準之 然後量之。”言鍊金使極精,而後分之則可以為率也。令丸逕自乘,三而一,開 方除之,即丸中之立方也。假令丸中立方五尺,五尺為句,句自乘冪二十五尺。

倍之得五十尺,以為弦冪,謂平面方五尺之弦也。以此弦為股,亦以五尺為句, 並句股冪得七十五尺,是為大弦冪。開方除之,則大弦可知也。大弦則中立方之 長邪,邪即丸徑。故中立方自乘之冪於丸逕自乘之冪,三分之一也。今大弦還乘 其冪,即丸外立方之積也。大弦冪開之不盡,令其冪七十五再自乘之,為面,命 得外立方積,四十二萬一千八百七十五尺之面。又令中立方五尺自乘,又以方乘 之,得積一百二十五尺,一百二十五尺自乘,為面,命得積,一萬五千六百二十 五尺之面。皆以六百二十五約之,外立方積,六百七十五尺之面,中立方積,二 十五尺之面也。

張衡算又謂立方為質,立圓為渾。衡言質之與中外之渾:六百七十五尺之面, 開方除之,不足一,謂外渾積二十六也;內渾,二十五之面,謂積五尺也。今徽 令質言中渾,渾又言質,則二質相與之率猶衡二渾相與之率也。衡蓋亦先二質之 率推以言渾之率也。衡又言:“質,六十四之面;渾,二十五之面。”質復言渾, 謂居質八分之五也。又云:方,八之面;圓,五之面。”圓渾相推,知其復以圓 囷為方率,渾為圓率也,失之遠矣。衡說之自然欲協其陰陽奇偶之說而不顧疏密 矣。雖有文辭,斯亂道破義,病也。置外質積二十六,以九乘之,十六而一,得 積十四尺八分尺之五,即質中之渾也。以分母乘全內子,得一百一十七。又置內 質積五,以分母乘之,得四十,是謂質居渾一百一十七分之四十,而渾率猶為傷 多也。假令方二尺,方四面,並得八尺也,謂之方周。其中令圓徑與方等,亦二 尺也。圓半徑以乘圓周之半,即圓冪也。半方以乘方周之半,即方冪也。然則方 周知,方冪之率也;圓周知,圓冪之率也。按:如衡術,方周率八之面,圓周率 五之面也。令方周六十四尺之面,圓周四十尺之面也。又令徑二尺自乘,得徑四 尺之面,是為圓周率十之面,而徑率一之面也。衡亦以周三徑一之率為非,是故 更著此法,然增周太多,過其實矣。

淳風等按:祖暅之謂劉徽、張衡二人皆以圓囷為方率,丸為圓率,乃設新 法。祖暅之開立圓術曰:“以二乘積,開立方除之,即立圓徑。其意何也?取 立方棋一枚,令立樞於左後之下隅,從規去其右上之廉;又合而衡規之,去其前 上之廉。於是立方之棋分而為四,規內棋一,謂之內棋;規外棋三,謂之外棋。

規更合四棋,復橫斷之。以句股言之,令余高為句,內棋斷上方為股,本方之數, 其弦也。句股之法:以句冪減弦冪,則余為股冪。若令余高自乘,減本方之冪, 余即內棋斷上方之冪也。本方之冪即此四棋之斷上冪。然則余高自乘,即外三棋 之斷上冪矣。不問高卑,勢皆然也。然固有所歸同而途殊者爾。而乃控遠以演類, 借況以析微。按:陽馬方高數參等者,倒而立之,橫截去上,則高自乘與斷上冪 數亦等焉。夫疊棋成立積,緣冪勢既同,則積不容異。由此觀之,規之外三棋旁 蹙為一,即一陽馬也。三分立方,則陽馬居一,內棋居二可知矣。合八小方成一 大方,合八內棋成一合蓋。內棋居小方三分之二,則合蓋居立方亦三分之二,較 然驗矣。置三分之二,以圓冪率三乘之,如方冪率四而一,約而定之,以為丸率。

故曰丸居立方二分之一也。”等數既密,心亦昭晢。張衡放舊,貽哂於後,劉徽 循故,未暇校新。夫豈難哉,抑未之思也。依密率,此立圓積,本以圓徑再自乘, 十一乘之,二十一而一,得此積。今欲求其本積,故以二十一乘之,十一而一。

凡物再自乘,開立方除之,復其本數。故立方除之,即丸徑也。〕